分治算法

分治算法

分治算法(Divide And Conquer)是解决规模庞大的问题的很好的思路,它通过降低问题的规模,形成若干个规模更小但形式相同的子问题,进行递归求解。在求解过后,将各个子问题的解合并起来,形成原问题的解。

那么它的大致流程主要分成三步:

  • 分解(Divide)将大规模的问题分解成若干个规模更小但形式相同的子问题
  • 解决(Conquer)如果当前问题的规模足够小,并可以直接解决的话,那么直接解决并返回解。否则,继续进行分解并递归求解分解后的子问题。
  • 合并(Merge)将各个子问题合并,最终形成原问题的解。

分治算法一般来说会采用递归法来进行实现,当然利用迭代法(比如for、while)也是可以的。所以,我们往往看到的递归算法从广义上来说都是分治算法。无非就是有些递归算法将问题分解了若干个子问题,然而有些递归算法将问题分解成了一个子问题。

应用场景

  • 二分查找
  • 合并排序
  • 快速排序
  • 大整数乘法
  • Strassen矩阵乘法
  • 棋盘覆盖
  • 线性时间选择
  • 最接近点对问题
  • 循环赛日程表
  • 汉诺塔

例子:数列的最大子序列和

给定一个整数数组,找出总和最大的连续数列,并返回总和。

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。

本题比较优的解法是动态规划,我们尝试用分治算法进行解决。

我们把数组分割成两边,那么结果出现的区域,完全在左边、完全在右边、包括中间两个节点的左右两部分

public class Test1617 {

    public static void main(String[] args) {
        Test1617 test = new Test1617();

        int[] nums = {-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4};
        System.out.println(test.maxSubArray(nums));
    }

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        return divide(nums, 0,nums.length-1);
    }

    private int divide(int[] nums, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return nums[left];
        }

        int mid = (left + right) >> 1;
        // 1.左边最大的子序列
        int leftMaxSum = divide(nums, left, mid);
        // 2.右边最大的子序列
        int rightMaxSum = divide(nums, mid+1, right);

		// 3.最大数列和在中间
        // 包括中间的,左边部分最大
        int sum = nums[mid];
        int leftMidSum = sum;
        for (int i=mid-1; i>=left; i--) {
            sum += nums[i];
            leftMidSum = Math.max(leftMidSum, sum);
        }

        // 包括中间的,右边部分最大
        sum = nums[mid+1];
        int midRightSum = sum;
        for (int i=mid+2; i<=right; i++) {
            sum += nums[i];
            midRightSum = Math.max(midRightSum, sum);
        }

        return Math.max(Math.max(leftMaxSum, rightMaxSum), leftMidSum+midRightSum);
    }

}

参考资料

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